Задача 1.

Яку цифру слід поставити замість * в записі числа 45*48, щоб отримане число ділилося на 18?

Розв’язання:

Для того, щоб число ділилось на 18, воно повинно ділитись на 2 і на 9. Дане число вже ділиться на 2 (закінчується цифрою 8), а так як воно повинно ділитись ще на 9, то сума цифр числа повинна ділитись також на 9. Знайдемо суму цифр числа: 4 + 5 + 4 + 8 = 21, Таким чином, замість  * треба вставити цифру 6, так як тоді сума (21 + 6)  9.

Задача 2.

Довести, що число 1616 – 1414 ділиться на 10.

Розв’язання:

Для того, щоб число ділилось на 10, воно повинно закінчуватись цифрою 0. Знайдемо останні цифри чисел 1616 і 1414. Знайдемо закономірності при піднесенні до степеня:

161 = 16; 162 = 256; 163 = ***6 і т.д., тобто число 1616 закінчуватиметься цифрою 6.

141 = 14; 142 = 196; 143 = ***4; 144 = ***6 і т.д., тобто степінь з парним показником закінчується цифрою 6. Отже при відніманні 1616 і 1414 отримаємо число, яке закінчуватиметься цифрою 0.

Задача 3.

Довести,що коли р – просте число, більше від 3, то число (р – 1)(р + 1) ділиться на

а) 3; б) 8; в) 24.

Розв’язання:

а) Для того, щоб число ділилось на 3, сума цифр цього числа повинна ділитись на 3. Так як р – просте число, більше від 3, то воно не ділиться на 3, отже числа (р – 1) або (р + 1) сусідні до даного числа, тому обов’язково одне з них повинно ділитись на 3. (З трьох послідовних чисел одне обов’язково ділиться на 3).

б) Для того, щоб число ділилось на 8, воно повинно ділитись і на 2, і на 4. Так як число р  просте, то воно обов’язково буде непарним, отже числа (р – 1) і (р + 1) – парні і послідовні. Якщо це так, то одне з них ділиться на 2, друге на 4, отже, все число ділитиметься на 8.

в) Для того, щоб число ділилось на 24, воно повинно ділитись на 3 і на 8. В попередніх пунктах було доведено, що дане число ділиться і на 3 і на 8, отже, число ділиться на 24.

Задача 4.

Чи можливо замість * розставити знаки « + » та « – » так, щоб отримали правильну рівність 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 10?

Розв’язання:

Для того, щоб при додаванні чи відніманні отримати парне число ( 10 – парне число), треба додати чи відняти або два парних, або два непарних числа. Так як кількість чисел, які додаються чи віднімаються непарна (їх 9), то результат ніколи не буде парним. Отже, правильна відповідь: не можна.

​

Завдання для самостійного опрацювання.

​

1.Доведіть, що число 10024 +2 ділиться на 3.

2.Не виконуючи дій і користуючись ознаками подільності, з’ясуйте, чи добуток 6*23*75 ділиться на 5; на 9; на 10.

3.Перевір на прикладах, чи може сума трьох послідовних натуральних чисел бути простим числом.

4.Чи може число , тридцять цифр якого є одиницями, а інші нулями, бути квадратом якогось числа?

5.Доведіть, що числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 3 і на 37

6.Знайдіть остачу від ділення на 5 числа 20052007 + 20062006 + 20072005.

А) 0;   Б) 1;   В) 4;    Г) 3.

7. Визначити дві останні цифри числа 72007

А) 07;   Б) 49;   В) 43;    Г) 01.

8.Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа - одиниці. Знайти всі  такі числа, знаючи, що вони діляться без остачі на 72.

  А) 41112;   Б) 11142;   В) 21114;    Г) 11124.

9.Ліворуч і праворуч від числа 10 допишіть по одній цифрі так, щоб утворилося чотирицифрове число, кратне 72

 А) 3 і 6;   Б) 4 і 4;   В) 2 і 7;    Г) 7 і 2.

10.Яку цифру слід поставити замість * в записі числа 8*5, щоб отримане число ділилося на 45?

 А) 3;   Б) 4;   В) 5;    Г) 6.

11.Знайти усі числа х та у, при яких число 3х5у, ділиться на 12.

12. Яку цифру слід поставити замість * в записі числа 6*4, щоб отримане число ділилося на 36?

А) 4;   Б) 6;   В) 8;    Г) 9.

13.Марійка купила декілька кілограмів лимонів за ціною 12 грн за кілограм і 3 кг апельсинів. Укажіть можливу суму грошей, яку Марійка заплатила в касі, якщо кожний кілограм апельсинів коштує ціле число гривень.

А) 32;   Б) 25;   В) 39;    Г) 35.

14.У Петрика було більше ніж 30, але менше ніж 50 камінчиків. Коли він розклав камінчики у купки по 5 штук, то один камінчик залишився, а коли він розклав їх у купки по 3 штуки, то залишилось 2 камінчики. Яка кількість камінчиків була в Петрика?

А) 41;   Б) 45;   В) 36;    Г) 46.